Propiedades de las expresiones booleanas

Las expresiones booleanas poseen las siguientes propiedades:

a) Están compuestas de literales (A, B, C, ...) y cada una de e§ representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A'B,DAB'CD.

b ) El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, í= falso o verdadero.

c) Además de literales, en la expresión booleana se puede tener valor de 0 o 1. Por ejemplo: F = A'BDl + AB'CD + 0. ALFAOMEGA

d) Las literales de las expresiones booleanas pueden estar conectadas por medio de los operadores lógicos And ( a ) , Or (v) y Not O. El operador And es una multiplicación lógica que se indica por medio de un paréntesis, un punto o simplemente poniendo juntas las variables que se multiplican, por ejemplo el producto

de A y B se expresa como (A)(B) = A • B = AB; el Or es una suma lógica que se indica con el signo +; y el operador Not es el complemento o negación de una señal que se indica por un apostrofo ('). En la siguiente expresión se muestra la forma en que se representan los operadores:

F = A'BDl + AB'CD + 0

= A' A B A D A 1 v A a B ' a C a D v O

e) Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustituyendoen cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo encuenta el comportamiento de los operadores lógicos. En las siguientes tablas se muestra la manera en la que se aplica esta propiedad:

And Or Not

Teoremas del r álgebra booleana A partir de las propiedades de las operaciones

del álgebra booleana se pueden demostrar los siguientes teoremas.

1) Teorema 1. Idempotencia. X + X = X x - x = X

2) Teorema 2. Identidad de los elementos 0 y 1.

x + 1 =1 x • 0 = 0
3) Teorema 3. Absorción. x + (x • y) = x x • (x + y) = x

4) Teorema 4. Complemento de 0 yi. 0' = 1 1' = 0

5) Teorema 5. Involución.(xy = x)

6) Teorema 6. Leyes de Morgan. (x + y)' = x' • y' (x • y)' = x' + y'). Hay que tener presente que en álgebra booleana: ya que el valor máximo es 1.

f) Además de las operaciones básicas, también es posible aplicar la ley de De Morgan de forma semejante a como se aplica.

 En el siguiente ejemplo muestra la aplicación

de esta propiedad:

(ABCD)' = A' + B' + C' + D'

(A + B + C + D)' = A' B' C' D'                                                           

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Expresiones booleanas

El álgebra booleana trabaja con señales binarias. Al mismo tiempo ur. Egran cantidad de sistemas de control, también conocidos como digitales, usan señales binarias y éstas son un falso o un verdadero que proviene cesensores que mandan la información al circuito de control, mismo que lleva a cabo la evaluación para obtener un valor que indicará si se lleva a

cabo o no una determinada actividad, como encender un foco, arrancar un equipo de ventilación en un cine o ejecutar una operación matemática en una computadora.

Los sensores pueden ser “ópticos” , como los que se usan en tiendas departamentales (de proximidad); “magnéticos", como los que permiten detectar armas en aeropuertos; de “temperatura” , como los que utiliza un sistema de calefacción, los refrigeradores o bien el mismo termostato que controla el sistema de enfriamiento del motor de un vehículo; de “nivel”,  ya que un flotador como el que tiene un tinaco o una cisterna para controlar la cantidad de agua, es un sensor que puede mandar información a un circuito de control.

En cada uno de estos grupos de sensores existen tipos, tamaños y modelos, de acuerdo con el uso y funcionamiento, de forma que existen infrarrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros.

Resolver un problema práctico en el cual se desea automatizar un proceso, es necesario realizar un análisis detallado de lo que se quiere lograr así como de los tipos de sensores necesarios para obtener las señáis. Una vez que se conoce esto se plantea el funcionamiento del circuitojico en una expresión matemática, la cual recibe el nombre de función booleana,  un sensor que provee al circuito de una señal de entrada.